如图，在△ABC中，∠ACB=90°，正方形DEFG的顶点D，E分别在边AC、BC上，顶点F、G都在边AB上．（1）求证：GF2=AG•BF；（2）若△ABC的面积为48，AB=12，求正方形DEFG的边长．

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，正方形DEFG的顶点D，E分别在边AC、BC上，顶点F、G都在边AB上．

（1）求证：GF²=AG•BF；
（2）若△ABC的面积为48，AB=12，求正方形DEFG的边长．

Answer 1

（1）∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF，∠DGF=∠EFG=90°，
∴∠DGA=∠EFB=90°，
∴∠A+∠B=∠FEB+∠B=90°，
∴∠A=∠FEB，
∴△AGD∽△EFB，
∴(AG)/(EF)=(DG)/(BF)，
即(AG)/(GF)=(GF)/(BF)，
∴GF²=AG•BF；

（2）过C作CH⊥AB交DE于M，
设正方形DEFG的边长为x，
∵△ABC的面积为48，AB=12，
∴CH=8，
∵DE∥AB，
∴CM⊥DE，△CDE∽△CAB，
∴(CM)/(CH)=(DE)/(AB)，
即(8-x)/(8)=(x)/(12)，
∴x=(24)/(5)，
∴正方形DEFG的边长为(24)/(5)．