设椭圆的左右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．（1）求椭圆的方程；（2）求动点的轨迹的方程；（3）设直线（点不同于

Question

设椭圆 的左右顶点分别为 ，离心率 ．过该椭圆上任一点 作 轴，垂足为 ，点 在 的延长线上，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点 的轨迹 的方程；
（3）设直线 （ 点不同于 ）与直线 交于点 ， 为线段 的中点，试判断直线 与曲线 的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

设椭圆 的左右顶点分别为 ，离心率 ．过该椭圆上任一点 作 轴，垂足为 ，点 在 的延长线上，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点 的轨迹 的方程；
（3）设直线 （ 点不同于 ）与直线 交于点 ， 为线段 的中点，试判断直线 与曲线 的位置关系，并证明你的结论．

（1） ;（2） ;（3）详见解析.

试题分析：（1）根据椭圆的几何性质求出椭圆标准方程中的 ；（2）用设点、建立两个动点之间坐标的关系和代入已知曲线方程的方法求出动点轨迹方程；（3）先利用 三点共线建立 与 的坐标关系，再根据 为线段 的中点求出 的坐标表达式，进一步求出直线 的方程，最后根据曲线 圆心到直线 的距离与半径的大小情况判断其位置关系.
试题解析：（1）由题意可得 ， ，∴ ，         2分
∴ ，所以椭圆的方程为 ．       4分
（2）设 ， ，由题意得 ，即 ，    6分
又 ，代入得 ，即 ．
即动点 的轨迹 的方程为 ．           8分
（3）设 ，点 的坐标为 ，∵ 三点共线，∴ ，
而

作业帮用户 2016-12-01

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