如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，且0°<α≤180°，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当α=90°时，求四边形AEDC的面积．

Question

如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，且0°<α≤180°，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：BE=CF；
（2）当α=90°时，求四边形AEDC的面积．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAC=∠BAC，
∴AB=AC=AE=AF，∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB，即∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，

AE=AF

∠EAB=∠FAC

AB=AC

，
∴△AEB≌△AFC，
∴BE=CF；
（2） ∵α=90°，即∠EAB=∠FAC=90°，
∵AE=AB，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴AC∥BE，
同理可得AE∥CF，
∵AE=AC，
∴四边形AEDC为菱形，
AF与BE交于点H，如图，
∵∠EAF=45°，
∴AH平分∠EAB，
∴AH⊥BE，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴AH=(√(2))/(2)AE=√(2)，
∴四边形AEDC的面积=AH•DE=√(2)×2=2√(2)．