极限证明lim{sin[根号下(n+1)]-sin[根号下(n)]}=0向高手求教.

Question

极限证明
lim{sin[根号下(n+1)]-sin[根号下(n)]} = 0
向高手求教.

Answer 1

用和差化积公式
设α=(√(n+1)+√n)/2,β=(√(n+1)-√n)/2
则原式可化为
lim sin(α+β)-sin(α-β)
=lim 2sinβcosα
=lim 2sin((√(n+1)-√n)/2)*cos((√(n+1)+√n)/2)
=lim 2sin(1/2(√(n+1)+√n))*cos((√(n+1)+√n)/2)
cos((√(n+1)+√n)/2)≤1
lim 2sin(1/2(√(n+1)+√n))=0
所以
lim 2sin(1/2(√(n+1)+√n))*cos((√(n+1)+√n)/2)=0