竖直平面内有两个半径同为R的圆环，完全重叠在一起．若一个圆环固定另一个圆环做自由落体运动，试写出在两圆环完全分离之前，两圆环交点相对固定圆环圆心的向心加速度大小随时间变

Question

竖直平面内有两个半径同为R的圆环，完全重叠在一起．若一个圆环固定另一个圆环做自由落体运动，试写出在两圆环完全分离之前，两圆环交点相对固定圆环圆心的向心加速度大小随时间变化的关系式．

Answer 1

根据根据圆的方程，固定圆的方程有：x²+y²=R²
自由下落圆的方程有：x2+(y−(1)/(2)gt2)2＝R2
由两个圆的方程解得交点坐标有：
y＝(1)/(4)gt2
x²=R2−(1)/(16)g2t4
由此可得交点在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，据y＝(1)/(2)at2可得加速度a=(1)/(2)g
所以交点的竖直方向分速度vy＝at＝(gt)/(2)
如图：
可知v_y=vcosθ（θ为速度与竖直方向所成的角）
又由几何关系有：cosθ＝(x)/(R)
所以可得交点沿圆周运动的速度为：v＝(vy)/(cosθ)
所以向心加速度为：a=(v2)/(R)＝(v2y)/(Rcos2θ)＝(Rg2t2)/(4x2)＝(Rg2t2)/(4(R2−(1)/(16)g2t4))
答：两圆环交点相对固定圆环圆心的向心加速度大小随时间变化的关系式为a＝(Rg2t2)/(4(R2−(1)/(16)g2t4))．