点A、B、C、D在同一球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为23，则这个球的表面积为．

Question

点A、B、C、D在同一球的球面上，AB=BC=√(2)，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为(2)/(3)，则这个球的表面积为 ___ ．

Answer 1

根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为(1)/(3)S_△ABC×DQ=(2)/(3)，
即(1)/(3)×1×DQ=(2)/(3)，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=1²+（2-R）²，∴R=(5)/(4)
则这个球的表面积为：S=4π（(5)/(4)）²=(25)/(4)π；
故答案为：(25)/(4)π．