一道高数证明题函数f属于[0,1],f(0)=f(1)=0,证明|积分(0,1)f(x)dx|

Question

一道高数证明题
函数f属于[0,1],f(0)=f(1)=0,证明|积分(0,1)f(x)dx|

Answer 1

利用积分中值定理：
∫ [0,x] e^(t²) dt = x * e^(ξ²) , 其中 ξ 介于 0 和 x 之间.
= x * e^( θ x²), 其中 θ ∈[ 0,1]
当t > 0时, 令 f(t) = e^(t²) , f '(t) = 2t e^(t²) > 0, f(t) 严格单增,
故 上式中的 θ 是唯一的.
θ = (1/x²) * ln【∫ [0,x] e^(t²) dt / x】
lim(x->+∞) θ = lim(x->+∞) (1/x²) * ln【∫ [0,x] e^(t²) dt / x】
= lim(x->+∞) (1/x²) * 【 ln( ∫ [0,x] e^(t²) dt ) - ln x 】
= lim(x->+∞) 【e^(x²) / ∫ [0,x] e^(t²) dt - 1/x 】/ (2x) 洛必达法则
= lim(x->+∞) 【 x e^(x²) - ∫ [0,x] e^(t²) dt 】/ ( 2 x² ∫ [0,x] e^(t²) dt )
= lim(x->+∞) 【2 x² e^(x²) 】/ 【2 x² e^(x²) + 4 x ∫ [0,x] e^(t²) dt 】
= ... 两次洛必达法则
= 1