设F(x)为f(x)的一个原函数,且f(x)=xF(x)/1+x^2,F(0)=1.求f(x)

Question

设F(x)为f(x)的一个原函数,且f(x)=xF(x)/1+x^2,F(0)=1.求f(x)

Answer 1

应该是f(x)=xF(x)/(1+x²)
若f(x)=xF(x)/(1+x²)
f(x)/F(x)=x/(1+x²),
而根据复合函数求导定义,可得f(x)/F(x)=(lnF(x))',x/(1+x²)=(1/2ln(1+x²))'
所以(lnF(x))'=(1/2ln(1+x²))',即 lnF(x)=1/2ln(1+x²)+C,C为常数
F(x)=C*(1+x²)^(1/2),
f(x)=Cx/[(1+x²)^(1/2)]