设f（x）在[0，1]上连续，且单调不增，证明：任给α∈（0，1），有∫α0f（x）dx≥α∫10f（x）dx．

Question

设f（x）在[0，1]上连续，且单调不增，证明：任给α∈（0，1），有

∫

α 0

f（x）dx≥α

∫

1 0

f（x）dx．

Answer 1

证明：
由积分中值定理，存在ξ∈[0，α]，使：

∫

α 0

f(x)dx＝αf(ξ)；存在η∈[α，1]，使：

∫

1 α

f(x)dx＝f(η)(1−α)，
因为：η≥α≥ξ，所以：f（η）≤f（ξ），
则：
α

∫

1 0

f(x)dx＝α

∫

α 0

f(x)dx+α

∫

1 α

f(x)dx＝α2f(ξ)+αf(η)(1−α)≤α2f(ξ)+αf(ξ)(1−α)＝αf(ξ)＝

∫

α 0

f(x)dx．