设{an}为正项数列，则下列选择项正确的是（）A．若an＞an+1，则∞n＝1(−1)n−1an收敛B．若∞n＝1(−1)n−1an收敛，则an＞an+1C．若∞n＝1an收敛．则存在常数p＞1，使limn→∞npan存在D．若存在

Question

设{a_n}为正项数列，则下列选择项正确的是（　　）

A．若a_n＞a_n+1，则

∞

n＝1

(−1)n−1an收敛
B．若

∞

n＝1

(−1)n−1an收敛，则a_n＞a_n+1
C．若

∞

n＝1

an收敛．则存在常数p＞1，使

lim

n→∞

npan存在
D．若存在常数p＞1，使

lim

n→∞

npan存在，则

∞

n＝1

an收敛

Answer 1

对于选项A，
只说了满足莱布尼兹判别法的第一个条件，而没有说满足

lim

n→∞

an＝0的条件，
因此无法判断

∞

n＝1

(−1)n−1an是否收敛，
故A不正确．
对于选项B，
莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件，
由

∞

n＝1

(−1)n−1an收敛，并不能得出a_n＞a_n+1的结论，
故B不正确．
对于选项C，
我们可以通过一个反例来说明，an＝((1)/(2))n收敛，但是极限

lim

n→∞

npan却不存在，
因此C不正确．
对于选项D，
可以通过比较判别法判断：

lim

n→∞

npan存在，所以

lim

n→∞

((n+1)pan+1)/(npan)＜1，故

∞

n＝1

npan收敛，n^pa_n＞a_n，于是

∞

n＝1

an收敛，
D项为正确选项．
故选：D．