如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．（1）当BD=3时，求线段DE的长；（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．
（1）当BD=3时，求线段DE的长；
（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．

Answer 1

（1）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵DB为直径，
∴∠DEB=∠C=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴(DE)/(AC)＝(BD)/(AB)，
即(DE)/(3)＝(3)/(5)，
∴DE=(9)/(5)；
（2）证法一：连接OE，
∵EF为半圆O的切线，
∴∠DEO+∠DEF=90°，
∴∠AEF=∠DEO，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠A=∠EDB，
又∵∠EDO=∠DEO，
∴∠AEF=∠A，
∴△FAE是等腰三角形；
证法二：连接OE
∵EF为切线，
∴∠AEF+∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠B，
∴∠AEF=∠A，
∴△FAE是等腰三角形．