0.999…化成分数形式是多少?我们都知道,无限不循环小数是无理数,它们不能被写成分数形式,只有有理数才能.可是前几天我发现,只要循环节是9的无限循环小数都不能写成分数（如0.999…）!这

Question

0.999…化成分数形式是多少?
我们都知道,无限不循环小数是无理数,它们不能被写成分数形式,只有有理数才能.可是前几天我发现,只要循环节是9的无限循环小数都不能写成分数（如0.999…）!这样的话它们不就成无理数了?这是怎么回事?

Answer 1

事实上, 0.9999.这样的表示就有问题,有人声称那是省略了lim和趋于条件的简写,如果是这样这个根本不是什么值得说的问题了,不过应该没有这样的“默认”存在,至少不是普遍“默认”. 我问了1个学数学专业的朋友,他说“只能说0.999999.的极限是1,不能说等于1”,看来没有这样的“默认”,他既然没有写极限号,那么就不是在问它的极限.不过后来,有了新的想法.

当然,也有不少人不认为是省略了lim和趋于条件的简写,也说等于1.

下面主要说说各种证明 0.9999.=1 的证法的问题. 不过最后要说的是真正关键问题——真正的“无穷”和趋于“无穷”

1.

1/3=0.333.

3 X 1/3 = 3 X 0.333.

所以 1= 0.9999.

显然,真正的问题就是 1/3本来就不等于0.333. 循环小数原来来自除不尽, 但是无论多少位终究有“余数”,以前没有“无穷小”概念,所以这样记了.现在有“无穷小”概念,那么就应该注意到它们的“无穷小”差异.


2.

1和0.99999.都是常量
它们的差当然是个常量 可以确定这个常量是无穷小 而能作为无穷小的常量只有0
所以1-0.99999.=0
就是1=0.99999.


显然问题在于 0.99999.是不是常量? 按说0.9999999.这个样子,在数轴上是从左边“无穷接近1”的点,怎么确定它的位置?如果说它就是1,那么“无穷接近”这个概念是白定了.所谓“左极限”“右极限”就是无稽之谈.龟兔悖论白说了,第2次数学危机白经历了.

“无穷大”我们知道是特殊的东西,不是确定的点,同样“无穷接近1”的2个点,同样是无法确定的. 0.9999999.= 1-1/1000000. 有1个“无穷小”的距离,“无穷小”的存在是它只能成为特殊的东西.


3.
标准解法：
令x=0.99999.
显然x满足
x=0.9+0.1*x
解上面的方程,x=1
所以 0.99999.=1

这个解法据说是小学生都会,如果是1个小学生做的,他确实聪明,而且看上去仿佛天衣无缝.不过其实问题很严重,x=0.9+0.1*x 按理说只有1个实数解,如果0.99999.和1都是它的根,那么就应该相等了.

但是,如果说0.99999.根本不是1个真正的数,那么它根本不能做方程的根,比如我们把“无穷大”代入方程,是什么结果? “无穷大”=“无穷大” 不好说了.

“无穷大”不能做方程的根,好理解.那么为什么不是“无穷大”的 0.99999...也不行呢? 看看 0.99999...=1- 1/1000000... 那么 0.1 X 0.99999.=1- 0.1/1000000...

0.1/1000000...算个什么?和 1/1000000...有区别吗?结果 0.1 X 0.99999...=1- 1/1000000... 后项没有变.显然这样含有“无穷小”的“数”,不符合一些代数运算律,比如乘法结合律,所以不能做方程的根.

x=0.9+0.1*x 确实只有1个实数解,就是1,没有什么 0.99999...





关键问题——真正的“无穷”

其实,上面的话都没有触及真正的关键问题.那就是：“真正的无穷”.

什么“极限”,它敢说它是计算“无穷”吗?不是,它只说是“趋于无穷”,那么如果所谓的 0.99999...意思是 “就是无穷多个9”,怎么办?

虽然“极限”的概念解决了很多问题,但是在“无穷大”“无穷小”上仍然理智地声称是“趋于无穷（大、小）”,而不说“就是无穷”：能达到的话就不是“无穷”了.

微积分中的“无穷小”概念,也只是1个“趋于0”的函数,所以还能根据“趋于的速度”定义“高阶无穷小”“低阶无穷小”“同阶无穷小”“等价无穷小”这样的概念进行一些运算,和 1/10000.（就是无穷多个0）这样的不知道算什么东西的“真正的无穷小”大不一样.

同样,“趋于无穷大”的函数,也可以进行一些计算,和平白的 10000.这样的不知道算什么东西的“真正的无穷大”大不一样（我大学数学老师的话：什么东西乘0都是0,但是无穷大不是东西）.


所以,没有什么真正的运算是能计算“真正的无穷”的问题,所以如果把 0.99999...理解为“就是无穷多个9”,只能说,谁也不知道是多少,当然也不知道是否等于 1 了.

不过,如果真遇到了事关“真正的无穷”的问题,我们人类难道就束手无策了?当然不是,我们可以用“定义”解决问题,反正谁也不知道是多少,现实也没有明确指向,那么我们反而就好定义了.

比如,无穷级数的和,定义“它的和就是它的极限”.

比如,2个无穷数集,元素数量是否相等?康德就先定义什么是“相等”,然后才解释这个问题.

可见,真遇到了事关“真正的无穷”的问题,原来一些仿佛已经固定的概念（比如“和”、“相等”）都需要重新特别进行“定义”,然后在定义的范围内解答问题.


同样,在某些情况下,可以定义 0.99999...（无穷多个9）=1,不过,这已经是定义而已了.同样,也可以定义它们不相等,看需要定.