如图①，三个直径为a的等圆P、Q、O两两外切，切点分别是A、B、C．（1）那么OA的长是（用含a的代数式表示）；（2）探索：现有若干个直径为a的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③

Question

如图①，三个直径为a的等圆 P、 Q、 O两两外切，切点分别是A、B、C．
（1）那么OA的长是___（用含a的代数式表示）；
（2）探索：现有若干个直径为a的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，那么这两种方案中n层圆圈的高度h_n=___，h′_n=___（用含n、a的代数式表示）；
（3）应用：现有一种长方体集装箱，箱内长为6米，宽为2.5米，高为2.5米，用这种集装箱装运长为6米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形铜管，你认为采用第（2）题中的哪种方案在这种集装箱中装运铜管数多？通过计算说明理由；参考数据： √(2)≈1.41， √(3)≈1.73

Answer 1

（1）连接OA，
∵三个直径为a的等圆 P、 Q、 O两两外切，
∴OP=PQ=OQ=a，
∴△OPQ是等边三角形，
∴∠OPQ=60°，
∵AP=AQ，
∴OA⊥PQ，
∴OA=OP•sin60°=(√(3))/(2)a；
故答案为：(√(3))/(2)a；

（2）如图②：高度h_n=na；
如图③：h′_n=(√(3))/(2)（n-1）a+a；
故答案为：na，(√(3))/(2)（n-1）a+a；

（3）方案二在这种集装箱中装运铜管数多．
理由：方案一：0.1n≤2.5，
解得：n≤25，
25×25=625．
方案二：根据题意，第一层排放25根，第二层排放24根，
设钢管的放置层数为n，可得(√(3))/(2)（n-1）×0.1+0.1≤2.5，
解得n≤27.7．
∵n为正整数，
∴n=27．
钢管放置的最多根数为：25×14+24×13=662（根）．
∴方案二在这种集装箱中装运铜管数多．