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1/2+2/4+3/8+.+n/2^n等于多少
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1/2+2/4+3/8+.+n/2^n等于多少
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答案和解析
利用错位相减的方法求和
S=1/2+2/4+3/8+.+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n ①
①×1/2
(1/2)S= 1/4+2/8+.+(n-1)/2^n+n/2^(n+1) ②
①-②
则(1/2)S=1/2+1/4+1/8+.+1/2^n-n/2^(n+1)
=[(1/2)-(1/2)^(n+1)]/(1-1/2)-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)
∴ S=2-2/2^n-n/2^n
∴ S=2-(n+2)/2^n
S=1/2+2/4+3/8+.+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n ①
①×1/2
(1/2)S= 1/4+2/8+.+(n-1)/2^n+n/2^(n+1) ②
①-②
则(1/2)S=1/2+1/4+1/8+.+1/2^n-n/2^(n+1)
=[(1/2)-(1/2)^(n+1)]/(1-1/2)-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)
∴ S=2-2/2^n-n/2^n
∴ S=2-(n+2)/2^n
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