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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆,圆.(1)若过点C1(-1,0)的直线l被圆C2截得的弦长为,求直线l的方程;(2)设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长.①证明:动
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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆 ,圆 .
(1)若过点C 1 (-1,0)的直线l被圆C 2 截得的弦长为 ,求直线l的方程;
(2)设动圆C同时平分圆C 1 的周长、圆C 2 的周长.
①证明:动圆圆心C在一条定直线上运动;
②动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
(1)若过点C 1 (-1,0)的直线l被圆C 2 截得的弦长为 ,求直线l的方程;
(2)设动圆C同时平分圆C 1 的周长、圆C 2 的周长.
①证明:动圆圆心C在一条定直线上运动;
②动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
分析:
(1)设过直线l方程:y=k(x+1),根据垂直于弦的直径的性质,结合点到直线的距离公式列式,可解出k的值,从而得到直线l的方程;(2)①由题意,圆心C到C1、C2两点的距离相等,由此结合两点间的距离公式建立关系式,化简整理得x+y-3=0,即为所求定直线方程;②根据题意设C(m,3-m),得到圆C方程关于参数m的一般方程形式,由此可得动圆C经过圆x2+y2-6y-2=0与直线x-y+1=0的交点,最后联解方程组,即可得到动圆C经过的定点坐标.
(1)设过点C1(-1,0)的直线l方程:y=k(x+1),化成一般式kx-y+k=0∵直线l被圆C2截得的弦长为,∴点C2(3,4)到直线l的距离为d==,解之得k=或由此可得直线l的方程为:4x-3y+4=0或3x-4y+3=0.(2)①设圆心C(x,y),由题意,得CC1=CC2,即=,化简整理,得x+y-3=0,即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.②设圆C过定点,设C(m,3-m),则动圆C的半径为=,于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2,整理,得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0,由得或所以动圆C经过定点,其坐标为,.
点评:
本题求被定圆截得定长的弦所在直线方程,并探索动圆圆心在定直线上的问题.考查了直线与圆的方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,考查学生运算能力.
分析:
(1)设过直线l方程:y=k(x+1),根据垂直于弦的直径的性质,结合点到直线的距离公式列式,可解出k的值,从而得到直线l的方程;(2)①由题意,圆心C到C1、C2两点的距离相等,由此结合两点间的距离公式建立关系式,化简整理得x+y-3=0,即为所求定直线方程;②根据题意设C(m,3-m),得到圆C方程关于参数m的一般方程形式,由此可得动圆C经过圆x2+y2-6y-2=0与直线x-y+1=0的交点,最后联解方程组,即可得到动圆C经过的定点坐标.
(1)设过点C1(-1,0)的直线l方程:y=k(x+1),化成一般式kx-y+k=0∵直线l被圆C2截得的弦长为,∴点C2(3,4)到直线l的距离为d==,解之得k=或由此可得直线l的方程为:4x-3y+4=0或3x-4y+3=0.(2)①设圆心C(x,y),由题意,得CC1=CC2,即=,化简整理,得x+y-3=0,即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.②设圆C过定点,设C(m,3-m),则动圆C的半径为=,于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2,整理,得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0,由得或所以动圆C经过定点,其坐标为,.
点评:
本题求被定圆截得定长的弦所在直线方程,并探索动圆圆心在定直线上的问题.考查了直线与圆的方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,考查学生运算能力.
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