求方程3^x+4^x+5^x=6^x的解法题中没有指明x是整数。不是证明。不能用计算机。

Question

求方程3^x+4^x+5^x=6^x的解法
题中没有指明x是整数。不是证明。
不能用计算机。

Answer 1

f(x) = (3/6)^x + (4/6)^x + (5/6)^x - 1,
f'(x) = (3/6)^x*ln(3/6) + (4/6)^x*ln(4/6) + (5/6)^x*ln(5/6) < 0.
f(x) 单调递减.
f(1) = (3/6) + 4/6 + 5/6 - 1 = 1>0.
f(正无穷）= -1<0.
f(x)只有1个实零点.
而
f(3) = (3/6)^3 + (4/6)^3 + (5/6)^3 - 1 = [27+64+125]/6^3 - 1
= 216/216 - 1 = 0,
x = 3是f(x)的1个零点.
所以,
x = 3是f(x)的唯一零点.
x=3是方程3^x+4^x+5^x=6^x的唯一实根.