求定积分∫dx/x^2*√(1+x^2)上下限分别是√3和1,

Question

求定积分∫dx/x^2*√(1+x^2)
上下限分别是√3和1,

Answer 1

那个.楼主我想问一下,你的(x^)和√(1+x^)这两项都是在分母上吧?因为我觉得要是√（1+x^）在分子上的话,你肯定会紧接着写在∫后面,我是按照两个都在分母做的,要是搞错了,麻烦到时候说一声!
原积分=∫[dx/[(x^*√(1+x^)]
令x=tant,则有t=arctanx,积分上下限分别变为:t=artan√3=π/3,和 t=arctan1=π/4,而且有：√(1+x^)=√(1+tan^t)=√sec^t=sect;
x^=tan^t,dx=d(tant)=sec^tdt
于是,原积分化为：
∫sec^tdt/(tan^t*sect)
=∫sectdt/tan^t
=∫(1/cost)*dt/(sin^t/cos^t)
=∫cost*dt/sin^t
=∫d(sint)/sin^t
=∫(sint)^(-2) *d(sint)
=-(sint)^(-1)
=-1/sint
将上下限t=π/4和π/3分别代入,可求出：
原定积分=-1/sin(π/3)+1/sin(π/4)=√2 - 2√3/3