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小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论:如图,在⊙O中,OM⊥弦AB于点M,ON⊥弦CD于点N,若OM=ON,则AB=CD.(1)请帮小雅证明这个结论;(2)运用以上结论解决问题:在Rt△ABC中,
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小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论:如图,在⊙O中,OM⊥弦AB于点M,ON⊥弦CD于点N,若OM=ON,则AB=CD.
(1)请帮小雅证明这个结论;
(2)运用以上结论解决问题:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O为△ABC的角平分线的交点,以O为圆心,OB为半径的⊙O与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G,若AD=9,CF=2,求△ABC的周长.
(1)请帮小雅证明这个结论;
(2)运用以上结论解决问题:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O为△ABC的角平分线的交点,以O为圆心,OB为半径的⊙O与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G,若AD=9,CF=2,求△ABC的周长.
▼优质解答
答案和解析
(1)连结OA,OC,
∵OM⊥AB,ON⊥CD,
∴AM=
AB,CN=
CD,在Rt△AOM中,AM=
,在Rt△CON中,CN=
,
∵OA=OC,OM=ON,
∴AM=CN,
∴AB=CD;
(2)分别过O点作△ABC三边的垂线,垂足分别为点P、M、N,连OA、OC,
∵O为△ABC的角平分线的交点,
∴OP=OM=ON,
∴DB=BE=GF,
∴DP=PB=BM=ME=FN=NG,
∴Rt△OAP≌Rt△OAN,Rt△OCM≌Rt△OCN,
∴AP=AN,CM=CN,
∴AD=AG=9,CE=CF=2,
设BD=x,则AB=9+x,BC=2+x,AC=11+x,
∵AC2=AB2+BC2,
∴(11+x)2=(9+x)2+(2+x)2,
∴x2=36,
∴x=6,
∴△ABC的周长=9+x+2+x+11+x=3x+22=40.
∵OM⊥AB,ON⊥CD,
∴AM=
1 |
2 |
1 |
2 |
OA2−OM2 |
OC2−ON2 |
∵OA=OC,OM=ON,
∴AM=CN,
∴AB=CD;
(2)分别过O点作△ABC三边的垂线,垂足分别为点P、M、N,连OA、OC,
∵O为△ABC的角平分线的交点,
∴OP=OM=ON,
∴DB=BE=GF,
∴DP=PB=BM=ME=FN=NG,
∴Rt△OAP≌Rt△OAN,Rt△OCM≌Rt△OCN,
∴AP=AN,CM=CN,
∴AD=AG=9,CE=CF=2,
设BD=x,则AB=9+x,BC=2+x,AC=11+x,
∵AC2=AB2+BC2,
∴(11+x)2=(9+x)2+(2+x)2,
∴x2=36,
∴x=6,
∴△ABC的周长=9+x+2+x+11+x=3x+22=40.
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