在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）

Question

在边长为 的正方形 中， 分别为 的中点， 分别为 的中点，现沿 折叠，使 三点重合，重合后的点记为 ，构成一个三棱锥．

（1）请判断 与平面 的位置关系，并给出证明；
（2）证明 平面 ；
（3）求四棱锥 的体积．

Answer 1

在边长为 的正方形 中， 分别为 的中点， 分别为 的中点，现沿 折叠，使 三点重合，重合后的点记为 ，构成一个三棱锥．

（1）请判断 与平面 的位置关系，并给出证明；
（2）证明 平面 ；
（3）求四棱锥 的体积．

（1）平行；（2）证明 和 即可；（3）2.

试题分析：本题考查空间想象能力，在折叠过程中，找到不变的量是求解的关键.
（1）由中位线定理，可证明 平行 ；（2）证明 和 即可；（3）由 ，计算可得.
试题解析：（1） 平行平面  
证明：由题意可知点 在折叠前后都分别是 的中点（折叠后 两点重合）
所以 平行
因为 ，所以 平行平面 .
（2）证明：由题意可知 的关系在折叠前后都没有改变.
因为在折叠前 ，由于折叠后 ，点 ，所以  
因为 ，所以 平面 .
（3）  

 .