若函数f（x）=a（x-2）ex+lnx+1x存在唯一的极值点，且此极值大于0，则（）A.0≤a<1eB.0≤a<1e2C.-1e<a<1e2D.0≤a<1e或a=-1e

Question

若函数f（x）=a（x-2）e^x+lnx+

(1)/(x)存在唯一的极值点，且此极值大于0，则（　　）

A. 0≤a<

(1)/(e)

B. 0≤a<

(1)/(e2)

C. -

(1)/(e)<a<(1)/(e2)

D. 0≤a<

(1)/(e)或a=-(1)/(e)

Answer 1

f（x）=a（x-2）e^x+lnx+(1)/(x)，x>0，
∴f′（x）=a（x-1）e^x+(1)/(x)-(1)/(x2)=（x-1）（ae^x+(1)/(x2)），
由f'（x）=0得到x=1或ae^x+(1)/(x2)=0（*）
由于f（x）仅有一个极值点，
关于x的方程（*）必无解，
①当a=0时，（*）无解，符合题意，
②当a≠0时，由（*）得，a=-(1)/(exx2)，∴a>0
由于这两种情况都有，当0<x<1时，f'（x）<0，于是f（x）为减函数，
当x>1时，f'（x）>0，于是f（x）为增函数，
∴x=1为f（x）的极值点，
∵f（1）=-ae+1>0，
∴a<(1)/(e)
综上可得a的取值范围是[0，(1)/(e)）．
故选：A．