在半径为1的圆周上任取三点，连接成三角形，这个三角形是锐角三角形的概率是多少？

Question

在半径为1的圆周上任取三点，连接成三角形，这个三角形是锐角三角形的概率是多少？

Answer 1

如图①，按逆时针方向依次标记三点为A、B、C，设弧AB=x，弧BC=y，弧CA=2π-x-y．

依题意，所有可能的结果构成平面区域为：Ω={（x，y）|0＜x＜2π，0＜y＜2π，0＜2π-x-y＜2π}．
事件A=“三点组成锐角三角形”构成的平面区域为：A={（x，y）∈Ω|0＜x＜π，0＜y＜π，0＜2π-x-y＜π}．
分别作出Ω与A中不等式组对应的平面区域，得到两个三角形及其内部区域，如图②所示
∵平面区域Ω的面积为μΩ＝(1)/(2)×2π×2π＝2π2，平面区域A的面积为μA＝(1)/(2)×π×π＝(1)/(2)π2，
∴故所求概率为P(A)＝(μA)/(μΩ)＝((1)/(2)π2)/(2π2)＝(1)/(4)．
答：这个三角形是锐角三角形的概率是(1)/(4)．