故事里面有数学,数学里面有故事,找两则,并解决.就像丢番图的年龄那样的

Question

故事里面有数学,数学里面有故事,找两则,并解决.
就像丢番图的年龄那样的

Answer 1

有一个土耳其商人,想找一个助手.有两个人前来报名,商人想测验一下这两人中谁更聪明.他把两人带进一间既没有镜子,也没有窗户,全靠灯来照明的房子里.然后商人打开一个盒子说：“这里面有五顶帽子,两顶红的,三顶黑的,现在我把灯熄掉,我们三人每人摸一顶戴在自己的头上,然后我把盒子盖上,点亮灯后,你们要尽快说出自己头上戴的什么颜色的帽子.”说毕,就照着做了.当灯亮之后,两个人都看见商人戴着一顶红帽子.过了一瞬间,其中一个人说：“我戴的是黑色的帽子!”这个人猜对了.想一想,他是怎么猜对的?
想：应首先排除不可能的情况,然后一步步推出必然出现的情况.
猜对的人是这样推想的：一共两顶红帽子,商人头上已经戴了一顶红帽子,如果我戴的是红帽子,对方马上就能断定自己戴的是黑帽子.
我们都不能马上判断,显然对方和我戴的一样,都是黑色的帽子.由于他抢先一步,就猜对了.
我国已故著名的数学家华罗庚爷爷出生在一个摆杂货店的家庭,从小体弱多病,但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求,终于成为一代数学宗师.
少年时期的华罗庚就特别爱好数学,但数学成绩并不突出.19岁那年,一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来.从此在熊庆来先生的引导下,走上了研究数学的道路.晚年为了国家经济建设,把纯粹数学推广应用到工农业生产中,为祖国建设事业奋斗终生!
华爷爷悉心栽培年轻一代,让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出,工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物.下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏：
有位老师,想辨别他的3个学生谁更聪明.他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子,2顶黑帽子,让他们看到,然后,叫他们闭上眼睛,分别给戴上帽子,藏起剩下的2顶帽子,最后,叫他们睁开眼,看着别人的帽子,说出自己所戴帽子的颜色.
3个学生互相看了看,都踌躇了一会,并异口同声地说出自己戴的是白帽子.
为了解决上面的伺题,我们先考虑“2人1顶黑帽,2顶白帽”问题.因为,黑帽只有1顶,我戴了,对方立刻会说自己戴的是白帽.但他踌躇了一会,可见我戴的是白帽.
这样,“3人2顶黑帽,3顶白帽”的问题也就容易解决了.假设我戴的是黑帽子,则他们2人就变成“2人1顶黑帽,2顶白帽”问题,他们可以立刻回答出来,但他们都踌躇了一会,这就说明,我戴的是白帽子,3人经过同样的思考,于是,都推出自己戴的是白帽子.