已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e^x（a＞0）的导函数y=f'(x)的两个零点求f（x）的单调区间若极小值为-1,求极大值-3和0

Question

已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e^x（a＞0）的导函数y=f'(x)的两个零点求f（x）的
单调区间
若极小值为-1 ,求极大值-3和0

Answer 1

f(x)=(ax^2+bx+c)e^x（a＞0）
f'(x)=(ax^2+bx+c)'e^x+(ax^2+bx+c)(e^x)'
=(2ax+b)e^x+(ax^2+bx+c)e^x
=(ax^2+(2a+b)x+b+c)e^x
∵e^x>0
∴-3和0是方程ax^2+(2a+b)x+b+c=0的两实根,即
f'(x)=ax(x+3)e^x=a(x^2+3x)e^x
与上面求导结果对比可得b+c=0,3a=2a+b
即a=b=-c
∴ f(x)=a(x^2+x-1)e^x
又∵函数y='(x)的两个极值点-3和0
所以当x>0,(x^2+x-1)递增,e^x递增,又a>0
∴f(x)的递增区间是[0,+∞)
从而可得(-∞,-3]也是递增区间,(-3,0)是递减区间
即0是极小值点,-3是极大值点
已知f(0)=-1,即 f(x)=a(x^2+x-1)e^x=a(-1)e^0=-1,可得：a=1
∴ f(x)=(x^2+x-1)e^x
∴极大值f(-3)=(9-3-1)e^(-3)=5/e^3