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(2008•茂名)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,-4)、B(x1,0)、C(x2,0)三点,且x2-x1=5.(1)求b、c的值;(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线
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(2008•茂名)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-
x2+bx+c经过A(0,-4)、B(x1,0)、C(x2,0)三点,且x2-x1=5.
(1)求b、c的值;
(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形;
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形;若不存在,请说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bf096b63f6246b6036018ec4eef81a4c510fa276.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/48540923dd54564e070ed889b6de9c82d1584f12.jpg)
(1)求b、c的值;
(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形;
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形;若不存在,请说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bf096b63f6246b6036018ec4eef81a4c510fa276.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)把A(0,-4)代入可求c,运用两根关系及x2-x1=5,对式子合理变形,求b;
(2)因为菱形的对角线互相垂直平分,故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上,满足条件的D点,就是抛物线的顶点;
(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,∴PH垂直平分OB,求出OB的中点坐标,代入抛物线解析式即可,再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系,判断是否为正方形.
【解析】
(1)解法一:∵抛物线y=-
x2+bx+c经过点A(0,-4),
∴c=-4
又∵由题意可知,x1、x2是方程-
x2+bx+c=0的两个根,
∴x1+x2=
b,x1x2=-
c
由已知得(x2-x1)2=25
又∵(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2
=
b2-24
∴
b2-24=25
解得b=±![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d6ca7bcb0a46f21f885e62e3f3246b600c33ae13.jpg)
当b=
时,抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上,不合题意,舍去.
∴b=-
.
解法二:∵x1、x2是方程-
x2+bx+c=0的两个根,
即方程2x2-3bx+12=0的两个根.
∴x=
,
∴x2-x1=
=5,
解得b=±![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3fb43166d224f4a0b974fa30cf790529822d177.jpg)
当b=
时,抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上,不合题意,舍去.
∴b=-
.
(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形,根据菱形的性质,点D必在抛物线的对称轴上,
又∵y=-
x2-
x-4=-
(x+
)2+![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f9dcd100baa1cd11c5b84e90bc12c8fcc3ce2d77.jpg)
∴抛物线的顶点(-
,
)即为所求的点D.
(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,点B的坐标为(-6,0),根据菱形的性质,点P必是直线x=-3与
抛物线y=-
x2-
x-4的交点,
∴当x=-3时,y=-
×(-3)2-
×(-3)-4=4,
∴在抛物线上存在一点P(-3,4),使得四边形BPOH为菱形.
四边形BPOH不能成为正方形,因为如果四边形BPOH为正方形,点P的坐标只能是(-3,3),但这一点不在抛物线上.
(2)因为菱形的对角线互相垂直平分,故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上,满足条件的D点,就是抛物线的顶点;
(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,∴PH垂直平分OB,求出OB的中点坐标,代入抛物线解析式即可,再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系,判断是否为正方形.
【解析】
(1)解法一:∵抛物线y=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c2fdfc039245d68814698e14a1c27d1ed21b2412.jpg)
∴c=-4
又∵由题意可知,x1、x2是方程-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aa18972bd40735fa329b72099b510fb30f240812.jpg)
∴x1+x2=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e4dde71190ef76c6daddc79b9816fdfaaf516776.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5d6034a85edf8db15b2140d40c23dd54564e7476.jpg)
由已知得(x2-x1)2=25
又∵(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2
=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828b042ca153f81f4134970a5a76.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/58ee3d6d55fbb2fb6b4164a24a4a20a44623dc13.jpg)
解得b=±
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d6ca7bcb0a46f21f885e62e3f3246b600c33ae13.jpg)
当b=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d62a6059252dd42a6c633d1b063b5bb5c9eab813.jpg)
∴b=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/11385343fbf2b211c544b9fecf8065380cd78e13.jpg)
解法二:∵x1、x2是方程-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/79f0f736afc37931e167ba99eec4b74543a91176.jpg)
即方程2x2-3bx+12=0的两个根.
∴x=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/377adab44aed2e7389e7ba9c8201a18b87d6fa77.jpg)
∴x2-x1=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9825bc315c6034a8d0888431ce13495409237613.jpg)
解得b=±
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3fb43166d224f4a0b974fa30cf790529822d177.jpg)
当b=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6609c93d70cf3bc72d6af15cd400baa1cd112a13.jpg)
∴b=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d53f8794a4c27d1e164c07741ed5ad6eddc43813.jpg)
(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形,根据菱形的性质,点D必在抛物线的对称轴上,
又∵y=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aa18972bd40735fa329a72099b510fb30f240813.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8389b504fc2d562fd06ec5de21190ef76c66c77.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/95eef01f3a292df569cd90a5b9315c6034a87377.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828b042da153f81f4134970a5a77.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f9dcd100baa1cd11c5b84e90bc12c8fcc3ce2d77.jpg)
∴抛物线的顶点(-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/503d269759ee3d6d73a3bb7b46166d224f4ade1c.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7acb0a46f21fbe095c3bffa46e600c338744ad1c.jpg)
(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,点B的坐标为(-6,0),根据菱形的性质,点P必是直线x=-3与
抛物线y=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/83025aafa40f4bfb1fdea2e4064f78f0f7361877.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/902397dda144ad3406dabb37d5a20cf431ad851c.jpg)
∴当x=-3时,y=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a08b87d6277f9e2f0e3c21b81a30e924b899f370.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd315c6034a85edf02e9c2934c540923dd54751c.jpg)
∴在抛物线上存在一点P(-3,4),使得四边形BPOH为菱形.
四边形BPOH不能成为正方形,因为如果四边形BPOH为正方形,点P的坐标只能是(-3,3),但这一点不在抛物线上.
看了 (2008•茂名)如图,在平...的网友还看了以下:
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