已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4（1）若平面上有两点A（1，0），B（-1，0），点P是圆C上的动点，求使|AP|2+|BP|2取得最小值时P的坐标；（2）若Q是x轴上的点，QM，QN分别切圆C于M，N两点，若|MN|=23，

Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4
（1）若平面上有两点A（1，0），B（-1，0），点P是圆C上的动点，求使|AP|²+|BP|²取得最小值时P的坐标；
（2）若Q是x轴上的点，QM，QN分别切圆C于M，N两点，若|MN|=2√(3)，求直线QC的方程．

Answer 1

（1）设P（x，y），由点A（1，0），B（-1，0），
得到|AP|²+|BP|²=（x-1）²+y²+（x+1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2，
∵P为圆上的点，
∴|OP|_min=|OC|-r=√(32+42)-2=5-2=3，
∴（|AP|²+|BP|²）_min=2×3²+2=20，
此时直线OC：y=(4)/(3)x，
联立得：

y=(4)/(3)x

(x-3)2+(y-4)2=4

，
解得：

x=(9)/(5)

y=(12)/(5)

或

x=(21)/(5)＞3

y=(28)/(5)

（舍去），
∴点P的坐标为((9)/(5)，(12)/(5))；
（2）设Q（x₀，0），
∵圆C的半径r=2，|MN|=2√(3)，
∴∠MCN=(2π)/(3)，
又△QCN≌△QCM，∠MCQ=(π)/(3)，∠CMQ=(π)/(2)，|CM|=2，
∴|QC|=4，即（x₀-3）²+（0-4）²=16，
解得：x₀=3，
则所求直线QC的方程为x=3．