已知复数z=（a2-4sin2θ）+2（cosθ+1）i，其中a∈R+，θ∈（0，π），i为虚数单位，且z是方程x2+2x+2=0的一个根．（1）求θ与a的值；（2）若w=x+yi（x，y为实数），求满足的点（x，y）表示的图形的

Question

已知复数z=（a²-4sin²θ）+2（cosθ+1）i，其中a∈R⁺，θ∈（0，π），i为虚数单位，且z是方程x²+2x+2=0的一个根．
（1）求θ与a的值；
（2）若w=x+yi（x，y为实数），求满足的点（x，y）表示的图形的面积．

Answer 1

（1）∵z是方程x²+2x+2=0的一个根，∴也是此方程的一个根，
∴z+=-2，，
∴，又a∈R⁺，θ∈（0，π），解得．
即，．
（2）由（1）可得：z=-1+i．
∵==|1+i|=．
∴，
∴|（x-1）+yi|，∴，即（x-1）²+y²≤2．
∴点（x，y）在以（1，0）为圆心，为半径的圆上．
∴点（x，y）表示的图形的面积==2π．