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如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD中点,CE⊥AB于点E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).(1)当α=90°时,求CE的长;(2)当60°<α<90°时①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在
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如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD中点,CE⊥AB于点E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f9198618367adab4e82247c488d4b31c8601e443.jpg)
(1)当α=90°时,求CE的长;
(2)当60°<α<90°时
①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
②连接CF,当BE为何值时,CE2-CF2取最大值?
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f9198618367adab4e82247c488d4b31c8601e443.jpg)
(1)当α=90°时,求CE的长;
(2)当60°<α<90°时
①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
②连接CF,当BE为何值时,CE2-CF2取最大值?
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当∠ABC=α=90°时,四边形ABCD为矩形,
∵CE⊥AB,
∴点E与点B重合,
∴CE=CB=5;
(2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF.理由如下:
连接CF并延长交BA的延长线于点G,
∵F为AD的中点,
∴AF=FD.
在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠G=∠DCF.
在△AFG和△CFD中,
∵∠G=∠DCF,∠G=∠DCF,AF=FD,
∴△AFG≌△CFD(AAS).
∴CF=GF,AG=CD.
∵CE⊥AB,F是GC边中点,
∴EF=GF.∴∠AEF=∠G.
∵AB=5,BC=10,点F是AD的中点,
∴AG=5,AF=AD=BC=5.
∴AG=AF,
∴∠AFG=∠G,
在△AFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,
又∵∠CFD=∠AFG,
∴∠CFD=∠AEF.
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,
因此,存在正整数k=3,使得∠EFD=3∠AEF.
(2)设BE=x,∵AG=CD=AB=5,
∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x,
在Rt△BCE中,CE2=BC2-BE2=100-x2.
在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10-x)2+100-x2=200-20x.
∵CF=GF(①中已证),
∴CF2=
=50-5x.
∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-(x-2.5 )2+50+(2.5)2.
∴当x=2.5,即点E是AB的中点时,CE2-CF2取最大值.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/63d9f2d3572c11df1523e3a4602762d0f603c243.jpg)
∴当∠ABC=α=90°时,四边形ABCD为矩形,
∵CE⊥AB,
∴点E与点B重合,
∴CE=CB=5;
(2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF.理由如下:
连接CF并延长交BA的延长线于点G,
∵F为AD的中点,
∴AF=FD.
在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠G=∠DCF.
在△AFG和△CFD中,
∵∠G=∠DCF,∠G=∠DCF,AF=FD,
∴△AFG≌△CFD(AAS).
∴CF=GF,AG=CD.
∵CE⊥AB,F是GC边中点,
∴EF=GF.∴∠AEF=∠G.
∵AB=5,BC=10,点F是AD的中点,
∴AG=5,AF=AD=BC=5.
∴AG=AF,
∴∠AFG=∠G,
在△AFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,
又∵∠CFD=∠AFG,
∴∠CFD=∠AEF.
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,
因此,存在正整数k=3,使得∠EFD=3∠AEF.
(2)设BE=x,∵AG=CD=AB=5,
∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x,
在Rt△BCE中,CE2=BC2-BE2=100-x2.
在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10-x)2+100-x2=200-20x.
∵CF=GF(①中已证),
∴CF2=
CG2 |
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∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-(x-2.5 )2+50+(2.5)2.
∴当x=2.5,即点E是AB的中点时,CE2-CF2取最大值.
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