已知数列的通项公式为(n，)．(1)若，，成等比数列，求a的值；(2)是否存在k(k≥3且k∈N)，使得，，成等差数列，若存在，求出常数a的值；若不存在，请说明理由；(3)求证：数列中的任意一项

Question

已知数列的通项公式为(n，)．
(1)若，，成等比数列，求a的值；
(2)是否存在k(k≥3且k∈N)，使得，，成等差数列，若存在，求出常数a的值；若不存在，请说明理由；
(3)求证：数列中的任意一项总可以表示成数列中其它两项之积．____

Answer 1

【分析】(1)由a₁，a₃，a₁₅成等比数列可得代入通项公式可求a的值
(2)假设存在k(k≥3且k∈N)，使得a₁，a₂，a_k成等差数列，则有a₁+a_k=2a₂，代入通项公式进行计算
(3)由于=，故可求

(1)因为a₁，a₃，a₁₅成等比数列，所以a₃²=a₁a₁₅，即
∴a²=4a，
∵a∈N_+，
∴a=4
(2)若存在k(k≥3且k∈N)，使得a₁，a₂，a_k成等差数列，则有a₁+a_k=2a₂，
即，得，k(k≥3且k∈N)
∴a=1或a=2
故存在k=5或k=4，使得a₁，a₂，a_k成等差数列
且k=5时，a=1，k=4时，a=2．
(3)∴=
a_2n+a与a_2n是数列{a_n}的不同于a_n的两项，
所以数列中的任意一项a_n总可以表示成数列中其它两项之积．

【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合运算，数列通项公式的应用，考查了考生的逻辑推理与运算的能力．