如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．（1）试探究AP与BQ的数量关系，

Question

如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．

（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

Answer 1

（1）AP=BQ．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABQ+∠CBQ=90°．
∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，
∴∠PAB=∠CBQ．
在△PBA和△QCB中，

∠PAB=∠CBQ

AB=BC

∠ABP=∠BCQ

，
∴△PBA≌△QCB，
∴AP=BQ；

（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，
∴QH=BC=AB=3．
∵BP=2PC，
∴BP=2，PC=1，
∴BQ=AP=√(AB2+PB2)=√(32+22)=√(13)，
∴BH=√(BQ2-QH2)=√(13-9)=2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CQB=∠QBA．
由折叠可得∠C′QB=∠CQB，
∴∠QBA=∠C′QB，
∴MQ=MB．
设QM=x，则有MB=x，MH=x-2．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x²=（x-2）²+3²，
解得x=(13)/(4)．
∴QM的长为(13)/(4)；

（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，
∴QH=BC=AB=m+n．
∴BQ²=AP²=AB²+PB²，
∴BH²=BQ²-QH²=AB²+PB²-AB²=PB²，
∴BH=PB=m．
设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x-m．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x²=（x-m）²+（m+n）²，
解得x=m+n+(n2)/(2m)，
∴AM=MB-AB=m+n+(n2)/(2m)-m-n=(n2)/(2m)．
∴AM的长为

作业帮用户 2017-04-15