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如图,在四棱锥P-ABCD中,顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上,又∠BAD=90°,BC∥AD,且BC:AB:AD=1:2:2.(1)求证:PD⊥AC;(2)若PO=BC,求直线PD与AB所成的角;(3)若平面APB与平面PCD所成
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如图,在四棱锥P-ABCD中,顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上,又∠BAD=90°,BC∥AD,且BC:AB:AD=1:2:2.
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(1)求证:PD⊥AC;
(2)若PO=BC,求直线PD与AB所成的角;
(3)若平面APB与平面PCD所成的角为60°,求
的值.____
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(1)求证:PD⊥AC;
(2)若PO=BC,求直线PD与AB所成的角;
(3)若平面APB与平面PCD所成的角为60°,求
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▼优质解答
答案和解析
【分析】(1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系o-xyz,求出向量
,
的坐标,代入数量积公式,验证其数量积与0的关系,即可得到结论.
(2)由PO=BC,得h=a,求出向量
,
的坐标,代入向量夹角公式,即可求出直线PD与AB所成的角;
(3)求出平面APB与平面PCD的法向量,根据平面APB与平面PCD所成的角为60°,构造关于h的方程,解方程即可得到
的值.
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(2)由PO=BC,得h=a,求出向量
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(3)求出平面APB与平面PCD的法向量,根据平面APB与平面PCD所成的角为60°,构造关于h的方程,解方程即可得到
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b7003af33a87e9506228c55214385343fbf2b4d4.jpg)
因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影,所以PO⊥底面ABCD.以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系o-xyz(如图).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9e3df8dcd100baa1703371854310b912c8fc2ef4.jpg)
(1)设BC=a,OP=h则依题意得:B(a,0,0),A(-a,0,0),
P(0,0,h),C(a,a,0),D(-a,2a,0).
∴
=(2a,a,0),
=(-a,2a,-h),
于是
•
=-2a2+2a2=0,
∴PD⊥AC;
(2)由PO=BC,得h=a,于是P(0,0,a),
∵
=(2a,0,0),
=(-a,2a,-a),
∴
•
=-2a2,
∴cos
,
≥
=
,
∴直线PD与AB所成的角的余弦值为
;
(3)设平面PAB的法向量为m,可得m=(0,1,0),
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由
=(a,a,-h),
=(-a,2a,-h),
∴
,解得n=(1,2,
),
∴m•n=2,
cos<m,n≥
,
∵二面角为60°,
∴
=4,
解得
=
,即
=
.(12分)
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(1)设BC=a,OP=h则依题意得:B(a,0,0),A(-a,0,0),
P(0,0,h),C(a,a,0),D(-a,2a,0).
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c75c10385343fbf2ee13901db47eca8065388fd4.jpg)
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于是
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3119313b07eca80053a0fd9952397dda14483d4.jpg)
∴PD⊥AC;
(2)由PO=BC,得h=a,于是P(0,0,a),
∵
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d31b0ef41bd5ad6e12e652d485cb39dbb6fd3cf4.jpg)
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∴
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac345982b2b7d0a265f632a3cfef76094b369ad4.jpg)
∴cos
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∴直线PD与AB所成的角的余弦值为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9f510fb30f2442a73811cb9bd543ad4bd11302f4.jpg)
(3)设平面PAB的法向量为m,可得m=(0,1,0),
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/37d12f2eb9389b5032c0d66c8135e5dde7116ed4.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d4628535e5dde71112ed75c8a3efce1b9d1661d4.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77c6a7efce1b9d167af8ac5ff7deb48f8c5464d4.jpg)
∴m•n=2,
cos<m,n≥
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∵二面角为60°,
∴
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解得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aec379310a55b3191fe6b44b47a98226cffc17f4.jpg)
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【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,其中建立空间坐标系,求出相应直线的方向向量及相关平面的法向量,将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键.
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