如图，在四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上，又∠BAD=90°，BC∥AD，且BC：AB：AD=1：2：2．(1)求证：PD⊥AC；(2)若PO=BC，求直线PD与AB所成的角；(3)若平面APB与平面PCD所成

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上，又∠BAD=90°，BC∥AD，且BC：AB：AD=1：2：2．

(1)求证：PD⊥AC；
(2)若PO=BC，求直线PD与AB所成的角；
(3)若平面APB与平面PCD所成的角为60°，求的值．____

Answer 1

【分析】(1)以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o-xyz，求出向量，的坐标，代入数量积公式，验证其数量积与0的关系，即可得到结论．
(2)由PO=BC，得h=a，求出向量，的坐标，代入向量夹角公式，即可求出直线PD与AB所成的角；
(3)求出平面APB与平面PCD的法向量，根据平面APB与平面PCD所成的角为60°，构造关于h的方程，解方程即可得到的值．

因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o-xyz(如图)．

(1)设BC=a，OP=h则依题意得：B(a，0，0)，A(-a，0，0)，
P(0，0，h)，C(a，a，0)，D(-a，2a，0)．
∴=(2a，a，0)，=(-a，2a，-h)，
于是•=-2a²+2a²=0，
∴PD⊥AC；
(2)由PO=BC，得h=a，于是P(0，0，a)，
∵=(2a，0，0)，=(-a，2a，-a)，
∴•=-2a²，
∴cos，≥=，
∴直线PD与AB所成的角的余弦值为；
(3)设平面PAB的法向量为m，可得m=(0，1，0)，
设平面PCD的法向量为n=(x，y，z)，由=(a，a，-h)，=(-a，2a，-h)，
∴，解得n=(1，2，)，
∴m•n=2，
cos<m，n≥，
∵二面角为60°，
∴=4，
解得=，即=．(12分)

【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，求出相应直线的方向向量及相关平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．