等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，点A、点B分别是y轴、x轴上的两个动点．（1）如图1，若A（0，2），B（1，0），求C点的坐标；（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴

Question

等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，点A、点B分别是y轴、x轴上的两个动点．
（1）如图1，若A（0，2），B（1，0），求C点的坐标；
（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E，且点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE；
（3）如图3，在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E，若BD始终是∠ABC平分线，试探究：线段BD与OA+OD之间存在的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）如图1，过点C作CF⊥y轴于点F，

∵A（0，2），B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵CF⊥y轴于点F，
∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠BAO=90°，
∴∠ACF=∠BAO，
在△ACF和△ABO中，

∠ACF=∠BAO

∠CFA=∠AOB=90°

AC=AB

∴△ACF≌△ABO（AAS），
∴CF=OA=1，AF=OB=2
∴OF=1
∴C（-1，-1）；
（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，

∵CG⊥AC，
∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠AGC=∠ADO，
在△ACG和△ABD中，

∠ACG=∠BAD=90°

∠AGC=∠ADO

AC=AB

∴△ACG≌△ABD（AAS）
∴CG=AD=CD，∠ADB=∠G，
∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，
在△DCE和△GCE中，

CD=CG

∠DCE=∠GCE

CE=CE

∴△DCE≌△GCE（SAS）
∴∠CDE=∠G，
∴∠ADB=∠CDE；
（3）如图3，在OB上截取OH=OD，连接AH，

由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD，
∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，
∴∠AEC=∠BHA，
在△ACE和△BAH中，

∠CAE=∠ABH

∠AEC=∠BHA

AB=AC

∴△ACE≌△BAH（AAS）
∴AE=BH=2OA
∵DH=2OD，
∴BD=2（OA+OD）．