设正数P1、P2，…，P2n满足P1+P2+P3+…P2n=1，求证：P1lnp1+P2lnp2+…+P2nlnp2n≥-n．

Question

设正数P₁、P₂，…，P₂ⁿ满足P₁+P₂+P₃+…P_2ⁿ=1，求证：P₁lnp₁+P₂lnp₂+…+P 2nlnp_2ⁿ≥-n．

Answer 1

证明：构造函数g（x）=xlnx-x+1，
∴g′（x）=lnx，则当x≥1时，lnx≥0，g′（x）≥0，即g（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴g（x）≥g（1）=0，即xlnx-x+1≥0，
∴xlnx≥x-1．
令x=2ⁿP_i，则有2ⁿP_iln（2ⁿP_i）≥2ⁿP_i-1，两边同除以2ⁿ，可得，P_iln（2ⁿP_i）≥P_i-(1)/(2n)，
利用“累加求和”可得：p₁ln（2ⁿP₁）+p₂log₂（2ⁿP₂）+P₃log₂（2ⁿP₃）+…+P_2ⁿlog₂（2ⁿP_2ⁿ）≥p₁+p₂+…+P_2ⁿ-1，
化简可得，（P₁+P₂+…+P_2ⁿ）ln（2ⁿ）+P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥（P₁+P₂+…+P_2ⁿ）-1•
∵P₁+P₂+…P_2ⁿ=1，
∴ln（^₂n）+P₁lnP₁+…+P_2ⁿlnP_2ⁿ≥0，
∴n+P₁lnP₁+…+P_2ⁿlnP_2ⁿ≥0，
∴P₁lnP₁+…+P_2ⁿlnP_2ⁿ≥-n．