如图,等腰直角三角形ABC中,AC=BC,角ACB=90度,P为三角形ABC外一点,角APC=45度,求证：角APB=90度

Question

如图,等腰直角三角形ABC中,AC=BC,角ACB=90度,P为三角形ABC外一点,角APC=45度,求证：角APB=90度

Answer 1

证法1:∵∠APC=∠ABC=45°.
∴点A,P,B,C四点在同一个圆上.
则:∠APB+∠ACB=180°.
∴∠APB=180°-∠ACB=90°.
证法2:作AE⊥PC于E;作BF⊥PC于F.
∠APC=45°,则AE=PE.
∵∠BCF=∠CAE(均为角ACF的余角);
BC=AC;∠BFC=∠CEA=90°.
∴⊿BFC≌⊿CEA(AAS),BF=CE;CF=AE=PE,则PF=CE.
故:PF=BF(等量代换;又BF垂直PF.
所以,∠BPF=45°,∠BPF+∠APE=90°,即∠APB=90°.