如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．（1）求点B的坐标；（2）在点P的运动过

Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．

Answer 1

（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB为等边三角形，且OA=2，
∴∠AOB=60°，OB=OA=2，
∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，
∴BC=(1)/(2)OB=1，OC=√(3)，
∴点B的坐标为B（√(3)，1）；

（2）∠ABQ=90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO与△AQB中，

AP=AQ

∠PAO=∠QAB

ZO=AB

，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°；

（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，可求得BQ=√(3)，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=√(3)，
∴此时P的坐标为（-√(3)，0）．