若α，β是关于x的一元二次方程x2+2（cosθ+1）x+cos2θ=0的两根，且|α-β|≤22，求θ的范围．

Question

若α，β是关于x的一元二次方程x²+2（cosθ+1）x+cos²θ=0的两根，且|α-β|≤2√(2)，求θ的范围．

Answer 1

若α，β是关于x的一元二次方程x²+2（cosθ+1）x+cos²θ=0的两根，
则有：△=4（cosθ+1）²-4cos²θ=4+8cosθ≥0，可得：cosθ≥-(1)/(2)，
则有：α+β=-(b)/(a)=-2（cosθ+1）；αβ=cos²θ．
故有（α+β）²=α²+β²+2αβ=4（cosθ+1）²=4cos²θ+8cosθ+4，
故：α²+β²=2cos²θ+8cosθ+4
∵|α-β|≤2√(2)，∴（α-β）²≤8，
故α²+β²-2αβ=2cos²θ+8cosθ+4-2cos²θ=8cosθ+4≤8，
从而得：cosθ≤(1)/(2)．
故：-(1)/(2)≤cosθ≤(1)/(2)
故θ的范围为：[2kπ+(π)/(3)，2kπ+(2π)/(3)]∪[2kπ+(4π)/(3)，2kπ+(5π)/(3)]，k∈Z．