如图，在△ABC中，∠B=15°，△ABC的面积为2，过点A作AD⊥AB交BC或BC的延长线于点D，MN垂直平分BD，垂足为N，交AB于点M．（1）求证：BM=2AD；（2）设BC=x，BD=y．求y与x之间的函数解析式，并写出函

Question

如图，在△ABC中，∠B=15°，△ABC的面积为2，过点A作AD⊥AB交BC或BC的延长线于点D，MN垂直平分BD，垂足为N，交AB于点M．
（1）求证：BM=2AD；
（2）设BC=x，BD=y．求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域．

Answer 1

（1）证明：∵MN垂直平分BD，
∴BM=MD，
∴∠MBD=∠MDB=15°，
∴∠AMD=∠MBD+∠MDB=30°，
又∵△AMD是直角三角形，
∴MD=2AD（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∵BM=MD，
∴BM=2AD；

（2）过点A作AH⊥BD于点H，则
S_△ABC=(1)/(2)BC•AH=2，
∴AH=(4)/(x)，
又∵AH=ABsin15°=BDcos15°•sin15°，
∴AH=ycos15°•sin15°，
∴(4)/(x)=ycos15°•sin15°=y×(√(6)+√(2))/(4)×(√(6)−√(2))/(4)=(y)/(4)，
∴y=(16)/(x)（x＞0）．

注：设AD=1，则MD=2，AM=√(MD2−AD2)=√(22−12)=

作业帮用户 2017-10-25

问题解析

（1）连接MD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BM=MD，再根据等边对等角的性质可得∠MDB=∠B，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMD的度数，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可证明；
（2）过点A作AH⊥BD于点H，根据△ABC的面积是2表示出AH，再利用BD及15°的正弦值与余弦值表示出AH，然后整理求解即可得到y与x之间的函数解析式．

名师点评

本题考点：

线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

考点点评：

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的面积的利用，注意15°角的正弦值与余弦值的利用是（2）中求解的关键．

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