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(2014•郯城县模拟)(1)问题背景如图1,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交直线AC于D,过点C作CE⊥BD,交直线BD于E.请探究线段BD与CE的数量关系.(事实上,我们可以延长CE与直
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(2014•郯城县模拟)(1)问题背景
如图1,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交直线AC于D,过点C作CE⊥BD,交直线BD于E.请探究线段BD与CE的数量关系.(事实上,我们可以延长CE与直线BA相交,通过三角形的全等等知识解决问题.)
结论:线段BD与CE的数量关系是______(请直接写出结论);
(2)类比探索
在(1)中,如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线,其他条件均不变(如图2),(1)中的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)拓展延伸
在(2)中,如果AB≠AC,且AB=nAC(0<n<1),其他条件均不变(如图3),请你直接写出BD与CE的数量关系.
结论:BD=______CE(用含n的代数式表示).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4afbfbedab64034f2cd769b2acc379310a551d6f.jpg)
如图1,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交直线AC于D,过点C作CE⊥BD,交直线BD于E.请探究线段BD与CE的数量关系.(事实上,我们可以延长CE与直线BA相交,通过三角形的全等等知识解决问题.)
结论:线段BD与CE的数量关系是______(请直接写出结论);
(2)类比探索
在(1)中,如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线,其他条件均不变(如图2),(1)中的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)拓展延伸
在(2)中,如果AB≠AC,且AB=nAC(0<n<1),其他条件均不变(如图3),请你直接写出BD与CE的数量关系.
结论:BD=______CE(用含n的代数式表示).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4afbfbedab64034f2cd769b2acc379310a551d6f.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)BD=2CE.理由如下:
如图1,延长CE、BA交于F点.
∵CE⊥BD,交直线BD于E,
∴∠FEB=∠CEB=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∴∠F=∠BCF,
∴BF=BC,
∵BE⊥CF,
∴CF=2CE.
∵△ABC中,AC=AB,∠A=90°,
∴∠CBA=45°,
∴∠F=(180-45)°÷2=67.5°,∠FBE=22.5°,
∴∠ADB=67.5°,
∵在△ADB和△AFC中,
,
∴△ADB≌△AFC(AAS),
∴BD=CF,
∴BD=2CE;
(2)结论BD=2CE仍然成立.理由如下:
如图2,延长CE、AB交于点G.
∵∠1=∠2,∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠3=∠4,
又∵BE=BE,∠GEB=∠CEB=90°,
∴△GBE≌△CBE(ASA),
∴GE=CE,
∴CG=2CE.
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°,
∴∠D=∠G,
又∵∠DAB=∠GAC=90°,
∴△DAB∽△GAC,
∴
=
,
∵AB=AC,
∴BD=CG=2CE;
(3)BD=2nCE.理由如下:
如图3,延长CE、AB交于点G.
∵∠1=∠2,∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠3=∠4,
又∵BE=BE,∠GEB=∠CEB=90°,
∴△GBE≌△CBE(ASA),
∴GE=CE,
∴CG=2CE.
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°,
∴∠D=∠G,
又∵∠DAB=∠GAC=90°,
∴△DAB∽△GAC,
∴
=
,
∵AB=nAC,
∴BD=nCG=2nCE.
故答案为BD=2CE;2n.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4034970a304e251f67d51349a486c9177f3e5365.jpg)
如图1,延长CE、BA交于F点.
∵CE⊥BD,交直线BD于E,
∴∠FEB=∠CEB=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∴∠F=∠BCF,
∴BF=BC,
∵BE⊥CF,
∴CF=2CE.
∵△ABC中,AC=AB,∠A=90°,
∴∠CBA=45°,
∴∠F=(180-45)°÷2=67.5°,∠FBE=22.5°,
∴∠ADB=67.5°,
∵在△ADB和△AFC中,
|
∴△ADB≌△AFC(AAS),
∴BD=CF,
∴BD=2CE;
(2)结论BD=2CE仍然成立.理由如下:
如图2,延长CE、AB交于点G.
∵∠1=∠2,∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠3=∠4,
又∵BE=BE,∠GEB=∠CEB=90°,
∴△GBE≌△CBE(ASA),
∴GE=CE,
∴CG=2CE.
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°,
∴∠D=∠G,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3ac79f3df8dcd10044be0f90718b4710b9122f65.jpg)
∴△DAB∽△GAC,
∴
BD |
CG |
AB |
AC |
∵AB=AC,
∴BD=CG=2CE;
(3)BD=2nCE.理由如下:
如图3,延长CE、AB交于点G.
∵∠1=∠2,∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠3=∠4,
又∵BE=BE,∠GEB=∠CEB=90°,
∴△GBE≌△CBE(ASA),
∴GE=CE,
∴CG=2CE.
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°,
∴∠D=∠G,
又∵∠DAB=∠GAC=90°,
∴△DAB∽△GAC,
∴
BD |
CG |
AB |
AC |
∵AB=nAC,
∴BD=nCG=2nCE.
故答案为BD=2CE;2n.
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