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如图1,直线y=-12x+2交坐标轴于A,B两点,交双曲线y=kx(x<0)于点C,且S△AOC=8.(1)求k的值;(2)如图2,A,G关于y轴对称,P为双曲线上一点,过P作PD⊥x轴于D,分别交BG,AB于F,E.求证
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如图1,直线y=-
x+2交坐标轴于A,B两点,交双曲线y=
(x<0)于点C,且S△AOC=8.
(1)求k的值;
(2)如图2,A,G关于y轴对称,P为双曲线上一点,过P作PD⊥x轴于D,分别交BG,AB于F,E.求证:DE+DF=4;
(3)Q为双曲线上另一动点,连接OQ,过C作CM⊥OQ于M,CN⊥y轴于N,如图3,当Q点运动时,∠OMN是否为定值?猜想并证明你的结论.
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2 |
k |
x |
(1)求k的值;
(2)如图2,A,G关于y轴对称,P为双曲线上一点,过P作PD⊥x轴于D,分别交BG,AB于F,E.求证:DE+DF=4;
(3)Q为双曲线上另一动点,连接OQ,过C作CM⊥OQ于M,CN⊥y轴于N,如图3,当Q点运动时,∠OMN是否为定值?猜想并证明你的结论.
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▼优质解答
答案和解析
(1)对于直线y=-
x+2,当y=0时,x=4;当x=0时,y=2;
∴A(4,0),B(0,2),
设C(a,b),
∵S△COA=
×4×b=8,
∴b=4,
把C(a,4)代入y=-
x+2得:a=-4
∴C(-4,4),
把C(-4,4)代入y=
得:
k=-16,
(2)设P坐标为(m,n),
∵A,G关于y轴对称,且A(4,0),
∴G(-4,0),
∵B(0,2),
∴直线BG解析式为y=
x+2,
∵过P作PD⊥x轴于D,分别交BG于F,
∴F(m,
m+2),D(m,0)
∴DF=
m+2,
∵A(4,0),C(-4,4),
∴直线AC解析式为y=-
x+2,
∵过P作PD⊥x轴于D,分别交AC于E,
∴E(m,-
m+2),
∴DE=-
m+2,
∴DE+DF=-
m+2+=
m+2=4;
(3)当Q点运动时,∠OMN是定值.
理由:如图所示,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_8ef9c858875af26fcbd2d780af90bda9.jpg)
作NE⊥MC于E,作NF⊥OM于F,作CG⊥x轴于G;
则四边形CGON是正方形,∠CMF=∠MFN=∠NEM=90°,
∴四边形EMFN是矩形,CG=OG=ON=CN=4,∠OCN=∠CON=45°,
∵CM⊥OQ,CN⊥y轴,
∴∠CMO=∠CNO=90°,
∴C、M、O、N四点共圆,
∴∠OMN=∠OCN=45°.
当Q点运动时,∠OMN是定值,定值为45°.
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∴A(4,0),B(0,2),
设C(a,b),
∵S△COA=
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∴b=4,
把C(a,4)代入y=-
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∴C(-4,4),
把C(-4,4)代入y=
k |
x |
k=-16,
(2)设P坐标为(m,n),
∵A,G关于y轴对称,且A(4,0),
∴G(-4,0),
∵B(0,2),
∴直线BG解析式为y=
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∵过P作PD⊥x轴于D,分别交BG于F,
∴F(m,
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∴DF=
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∵A(4,0),C(-4,4),
∴直线AC解析式为y=-
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∵过P作PD⊥x轴于D,分别交AC于E,
∴E(m,-
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∴DE=-
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∴DE+DF=-
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(3)当Q点运动时,∠OMN是定值.
理由:如图所示,
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作NE⊥MC于E,作NF⊥OM于F,作CG⊥x轴于G;
则四边形CGON是正方形,∠CMF=∠MFN=∠NEM=90°,
∴四边形EMFN是矩形,CG=OG=ON=CN=4,∠OCN=∠CON=45°,
∵CM⊥OQ,CN⊥y轴,
∴∠CMO=∠CNO=90°,
∴C、M、O、N四点共圆,
∴∠OMN=∠OCN=45°.
当Q点运动时,∠OMN是定值,定值为45°.
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