f(x)=xtanxe^sinx为什么不是周期函数,它是单调函数吗?怎么判断

Question

f(x)=xtanxe^sinx 为什么不是周期函数,它是单调函数吗?怎么判断

Answer 1

①对于周期函数,有f(x+t)=f(x)恒成立
令x=x+t,则有f(x+t)=(x+t)*tan(x+t)*e^sin(x+t)
因tanx和sinx均为周期函数,可令t为二者中较大的周期,
则对二者有：tan(x+t)=tanx,sin(x+t)=sinx
则f(x+t)=(x+t)*tanx*e^sinx=xtanxe^sinx+t*tanxe^sinx=f(x)+t*tanxe^sinx
该等式只有在t*tanxe^sinx=0时才成立,
而t*tanxe^sinx不恒为0,故等式f(x+t)=f(x)不恒成立
∴f(x)不是周期函数
②对f(x)求导得,f'(x)=tanxe^sinx+x(tanxe^sinx)'
=tanxe^sinx+x[(secx)^2*e^sinx+tanx*(e^sinx)']
=tanxe^sinx+x(secx)^2*e^sinx+xtanx*e^sinx*cosx
=tanxe^sinx+x(secx)^2*e^sinx+xsinx*e^sinx
=e^sinx*[tanx+x(secx)^2+xsinx]
=e^sinx*[sinxcosx+x+xsinxcosx]/(cosx)^2
=e^sinx*[sinxcosx(1+x)+x]/(cosx)^2
对于上述导函数,e^sinx>0, (cosx)^2>0,
但[sinxcosx(1+x)+x]的取值因x而异,可能大于0,也可能小于0
∴f'(x)的值在定义域内不恒大于0或恒小于0,故f(x)不是单调函数