已知函数f（x）=x-alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）设g（x）=-a+1x，若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）<g（x0）成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x-alnx，（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）设g（x）=-(a+1)/(x)，若在[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）<g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）=x-alnx的定义域为：（0，+∞），
f′(x)=1-(a)/(x)=(x-a)/(x)(x>0)，
当a≤0时，f′（x）>0在（0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点．
当a>0时，f′（x）<0，得0<x<a，f′（x）>0，得x>a，
∴f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
即f（x）在x=a处有极小值，无极大值．
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上没有极值点，
当a>0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．
（2）设h(x)=f(x)-g(x)=x+(1+a)/(x)-alnx(x>0)，h′(x)=1-(1+a)/(x2)-(a)/(x)=(x2-ax-(1+a))/(x2)=((x+1)[x-(1+a)])/(x2)，
不等式f（x）>g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，
即函数h(x)=x+(1+a)/(x)-alnx在[1，e]上的最小值大于零．
①当1+a≥e，即a≥e-1时，h（x）在[1，e]上单调递减，
所以h（x）的最小值为h（e），
由h(e)=e+(1+a)/(e)-a>0可得a<(e2+1)/(e-1)，
因为(e2+1)/(e-1)<e-1，所以e-1≤a<(e2+1)/(e-1)．
②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a>0可得a>-2，即-2<a≤0．
③当1<1+a<e，即0<a<e-1时，可得h（x）最小值为h（1+a），
因为0<ln（1+a）<1，所以0<aln（1+a）<a，
故h（1+a）=2+a-aln（1+a）>2．
即0<a<e-1．
综上可得，a的取值范围是(-2，(e2+1)/(e-1))．