已知，∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）过A作AF⊥AB截取AF=BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状；（2）E是直线BC上一点为CE=BD，AE，CD相交于点P，求∠APD．

Question

已知，∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）过A作AF⊥AB截取AF=BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状；
（2）E是直线BC上一点为CE=BD，AE，CD相交于点P，求∠APD．

Answer 1

（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：
∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，

AD=BC

∠FAD=∠DBC

AF=BD

，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形；

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，
∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，

AD=BC

∠FAD=∠DBC

AF=BD

，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠FCD=45°，
∵AF∥CE，且AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠APD=∠FCD=45°．