已知圆C圆心在直线y=x-1上，且过点A（1，3），B（4，2）．（1）求圆C的方程；（2）若直线x+2y+m=0与圆C相交于M、N两点，O为坐标原点，且∠MON=60°，求m的值．

Question

已知圆C圆心在直线y=x-1上，且过点A（1，3），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线x+2y+m=0与圆C相交于M、N两点，O为坐标原点，且∠MON=60°，求m的值．

Answer 1

（1）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则

−(E)/(2)＝−(D)/(2)−1

1+9+D+3E+F＝0

16+4+4D+2E+F＝0

解得D=-4，E=-2，F=0．
∴圆C的方程为x²+y²-4x-2y=0．
（2）∵∠MON=60°，点O在圆C上，
∴∠MCN=120°，且点C在直线MN下方，
在等腰△MCN中，得点C到直线MN的距离为(√(5))/(2)
∴d＝(|2+2+m|)/(√(5))＝(√(5))/(2)，解得m＝−(3)/(2)或m＝−(13)/(2)．
经检验，m＝−(3)/(2)不合题意，舍去．
∴m＝−(13)/(2)．