如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么

Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此4，12，20这三个数都是和谐数．
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为___．

Answer 1

（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：
36=10²-8²；2016=505²-503²；

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），
∵（2k+2）²-（2k）²=（2k+2+2k）（2k+2-2k）
=（4k+2）×2
=4（2k+1），
∵4（2k+1）能被4整除，
∴“和谐数”一定是4的倍数；

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，
S=（2²-0²）+（4²-2²）+（6²-4²）+…+（50²-48²）=50²=2500．
故答案是：2500．