如图所示，某货场需要将质量为m的货物（可视为质点）从高处运送至地面，现利用固定于地面的倾斜轨道传送货物，使货物由轨道顶端无初速度滑下，轨道与水平面成θ=37°角．地面上紧靠

Question

如图所示，某货场需要将质量为m的货物（可视为质点）从高处运送至地面，现利用固定于地面的倾斜轨道传送货物，使货物由轨道顶端无初速度滑下，轨道与水平面成θ=37°角．地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同木板A，B，长度均为l=2m，厚度不计，质量均为m，木板上表面与轨道末端平滑连接．货物与倾斜轨道间动摩察因素为μ₀=0.125，货物与木板间动摩察因数为μ₁，木板与地面间动摩察因素μ₂=0.2．

（1）若货物从离地面高h₀=1.5m处由静止滑下，求货物到达轨道末端时的速度v₀．
（2）若货物划上木板A时，木板不动，而划上木板B时，木板B开始滑动，求μ₁应满足的条件．
（3）若μ₁=0.5，为使货物恰能到达B的最右端，货物由静止下滑的高度h应为多少？

Answer 1

（1）如图对斜面上的物体受力分析有：

根据牛顿第二定律有：
mgsin37°-f=ma₀
N-mgcos37°=0
滑动摩擦力f=μ₀N
由以上三式可得货物下滑的加速度
a0=(mgsin37°-μ0mgcos37°)/(m)=gsin37°-μ₀gcos37°=10×0.6-0.125×10×0.8m/s²=5m/s²
物体做初速度为零的匀加速运动，根据运动学公式知，物体到达斜面底端的速度v0=√(2a0(h0)/(sin37°))=√(2×5×(1.5)/(0.6))m/s=5m/s
（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析可得：
μ₁mg≤μ₂（m+2m）g     ①
若滑上木板B时，木板开始滑动，由受力分析得：
μ₁mg>μ₂（m+m）g       ②
联立①②代入数据可解得0.41≤0.6
（3）由（2）知货物滑上A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动．货物下滑高度记为h₂，到达斜道末端时速度记为v₂，

v

2 2

=2a0(h2)/(sin37°)
货物滑上A时做匀减速运动，加速度大小a₁=gμ₁=5m/s²
货物离开A时速度记为v₃，

v

2 3

-

v

2 2

=-2a1l
货物滑上B时，自身加速度大小a₂=gμ₁=5m/s²，B的加速度大小a₃=gμ₁-2gμ₂=1m/s²
由题意，货物到达B最右端时两者恰好具有共同速度，记为v₄
货物做匀减速运动：v₄=v₃-a₂t，

v

2 4

-

v

2 3

=-2a2l货，
B做匀加速运动：v₄=a₃t，

v

2 4

=2a3lB
位移关系满足：l_B+l=l_货
代入数据解得：h₂=2.64m
答：（1）若货物从离地面高h₀=1.5m处由静止滑下，货物到达轨道末端时的速度v₀为5m/s；
（2）若货物划上木板A时，木板不动，而划上木板B时，木板B开始滑动，μ₁应满足0.41≤0.6；
（3）若μ₁=0.5，为使货物恰能到达B的最右端，货物由静止下滑的高度h应为2.64m．