设二维随机变量（X，Y）的密度函数为f（x，y）=12[φ1（x，y）+φ2（x，y）]，其中φ1（x，y）和φ2（x，y）都是二维正太密度函数，且他们对应的二维随机变量的相关系数分别为13和-13，他们的

Question

设二维随机变量（X，Y）的密度函数为f（x，y）=(1)/(2)[φ₁（x，y）+φ₂（x，y）]，其中φ₁（x，y）和φ₂（x，y）都是二维正太密度函数，且他们对应的二维随机变量的相关系数分别为(1)/(3)和-(1)/(3)，他们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是1．
（1）求随机变量X和Y的密度函数f₁（x）和f₂（x），及X和Y的相关系数ρ（可直接利用二维正太密度的性质）．
（2）问X和Y是否独立？为什么？

Answer 1

（1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度函数都是正态密度函数，因此，
φ₁（x，y）φ₂（x，y）的两个边缘密度函数为标准正态密度函数，故
f₁（x）=

∫

+∞ −∞

f(x，y)dy=(1)/(2)[

∫

+∞ −∞

φ₁（x，y）dy+

∫

+∞ −∞

φ₂（x，y）dy]=(1)/(2)((1)/(√(2π))e−2x2+(1)/(√(2π))e−2x2)=(1)/(√(2π))e−2x2，
同理：
f₂（y）=(1)/(√(2π))e−2y2，
可见 X～N（0，1），Y～N（0，1），因此有
EX=0，DX=1，EY=0，DY=1，
于是随机变量X和Y的相关系数为：
ρ=(COV(X，Y))/(√(DX)√(DY))=(EXY−EXEY)/(√(DX)√(DY))=EXY=

∫

+∞ −∞

∫

+∞ −∞

xyf（x，y）dxdy=(1)/(2)（

∫

+∞ −∞

∫

+∞ −∞

xyφ₁（x，y）dxdy+

∫

+∞ −∞

∫

+∞ −∞

xyφ₂（x，y）dxdy）=(1)/(2)（(1)/(3)-(1)/(3)）=0
（2）由题设：
f（x，y）=(2)/(8π√(2))(e−(9)/(16)(x2−(2)/(3)xy+y2)+e−(9)/(16)(x2+(2)/(3)xy+y2))
f₁（x）•f₂（y）=(1)/(2π)e−(x2)/(2)•e−(y2)/(2)=(1)/(2π)e((x2+y2))/(−2)
可见：
f（x，y）≠f₁（x）•f₂（y）
因此X和Y不独立．