已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。（1）求m的值；（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）将此抛物

Question

已知抛物线y=x ² -2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图，请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形。

Answer 1

（1）∵抛物线y=x ² -2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2） ² -4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x ² -2x+1，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1），
由1=x ² -2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1），
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=x _D -x _B =1，
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC= ，
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，
于是∠ABO=45°，AB= ，
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；
 （3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x ² -2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），
即OE=1，OF=3，
①若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P ₁ （x ₁ ，y ₁ ），作P ₁ M⊥x轴于M，
∵∠P ₁ EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P ₁ EM=∠EFO，
得Rt△EFO∽Rt△P ₁ EM，
则 ，
即EM=3P ₁ M，
∵EM=x ₁ +1，P ₁ M=y ₁ ，
∴x ₁ +1=3y ₁ ，（*）
由于P ₁ （x ₁ ，y ₁ ）在抛物线C′上，
则有3（x ₁ ² -2x ₁ -3）=x ₁ +1，
整理得，3x ₁ ² -7x ₁ -10=0，
解得，x ₁ =-1（舍）或 x ₁ = ，
把x ₁ = 代入（*）中可解得， ，
∴P ₁ （ ），
②若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P ₂ （x ₂ ，y ₂ ），作P ₂ N⊥与y轴于N，
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP ₂ N，
得 ，
即P ₂ N=3FN，
∵P ₂ N=x ₂ ，FN=3+y ₂ ，
∴x ₂ =3（3+y ₂ ）（**）
由于P ₂ （x ₂ ，y ₂ ）在抛物线C′上，
则有x ₂ =3（3+x ₂ ² -2x ₂ -3），
整理得3x ₂ ² -7x ₂ =0，
解得x ₂ =0（舍）或 ，
把 代入（**）中可解得， ，
∴P ₂ （ ），
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（ ）或（ ）。