如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD．

Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=(√(6))/(3)a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD．

Answer 1

在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，
在AB上取点F，使AF=EG，则F即为所求作的点．
∵EG∥CD∥AF，EG=AF，
∴四边形FEGA为平行四边形，
∴FE∥AG．
又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
又在Rt△BCE中，
CE=√(BC2-BE2)
=√((a2)/(3))=(√(3))/(3)a．
四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，
所以△PBC是直接三角形．
在Rt△PBC中，BC²=CE•CP
∴CP=(a2)/((√(3))/(3)a)=√(3)a．又(EG)/(CD)=(PE)/(PC)，
∴EG=(PE)/(PC)•CD=(2)/(3)a，
∴AF=EG=(2)/(3)a．
∴点F为AB的一个三等分点．