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如图1,抛物线y=ax2-10ax+8与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B,且C点的坐标为(2,0)(1)求抛物线的函数表达式和A、B两点的坐标;(2)如图,设点D是线段OA上的一个动点,过点D作DE⊥x轴交A
题目详情
如图1,抛物线y=ax2-10ax+8与x轴交于A、C两点,与y 轴交于点B,且C点的坐标为(2,0)
(1)求抛物线的函数表达式和A、B两点的坐标;
(2)如图,设点D是线段OA上的一个动点,过点D作DE⊥x轴交AB于点E,过点E作EF⊥y轴,垂足为F.记OD=x,矩形ODEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值及此时点D的坐标;
(3)设抛物线的对称轴与AB交于点P(如图2),点Q是抛物线上的一个动点,点R是x轴上的一个动点.请求出当以P、Q、R、A为顶点的四边形是平行四边形时,点Q的坐标.
(1)求抛物线的函数表达式和A、B两点的坐标;
(2)如图,设点D是线段OA上的一个动点,过点D作DE⊥x轴交AB于点E,过点E作EF⊥y轴,垂足为F.记OD=x,矩形ODEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值及此时点D的坐标;
(3)设抛物线的对称轴与AB交于点P(如图2),点Q是抛物线上的一个动点,点R是x轴上的一个动点.请求出当以P、Q、R、A为顶点的四边形是平行四边形时,点Q的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵y=ax2-10ax+8,
∴抛物线的对称轴为:x=-
=-
=5,
令x=0,得到y=8,
∴点B的坐标为(0,8),
∵点C坐标为:(2,0),
∵点A与点C关于对称轴x=5对称,
∴点A坐标为:(8,0),
将C(2,0)代入y=ax2-10ax+8得:4a-20a+8=0,
∴a=
,
则抛物线的函数表达式为y=
x2-5x+8;
(2)∵A(8,0),B(0,8),
∴设直线AB的解析式为y=kx+b,
把A和B坐标代入得:
'
解得:
,
∴直线AB解析式为y=-x+8,
由OD=x,即E横坐标为x,
代入直线AB解析式得:y=-x+8,即ED=-x+8,
则矩形的面积S=x(-x+8)=-x2+8x,0<x<8,
当x=-
=4,即D(4,0)时,S有最大值,最大值为16;
(3)根据题意画出图形,如图所示:
存在符合条件的点Q和R,使以P,R,Q,A为顶点的四边形为平行四边形,
若Q在对称轴右边,把x=5代入直线AB解析式,解得y=3,即Q纵坐标为3,
把y=3代入抛物线解析式得:3=
x2-5x+8 解得:x=5±
,
当Q的纵坐标为-3,还有点(5±
,-3)
即 Q的坐标为:(5+
,3)(5-
,3)或(5+
,-3)(5-
,-3).
∴抛物线的对称轴为:x=-
b |
2a |
−10a |
2a |
令x=0,得到y=8,
∴点B的坐标为(0,8),
∵点C坐标为:(2,0),
∵点A与点C关于对称轴x=5对称,
∴点A坐标为:(8,0),
将C(2,0)代入y=ax2-10ax+8得:4a-20a+8=0,
∴a=
1 |
2 |
则抛物线的函数表达式为y=
1 |
2 |
(2)∵A(8,0),B(0,8),
∴设直线AB的解析式为y=kx+b,
把A和B坐标代入得:
|
解得:
|
∴直线AB解析式为y=-x+8,
由OD=x,即E横坐标为x,
代入直线AB解析式得:y=-x+8,即ED=-x+8,
则矩形的面积S=x(-x+8)=-x2+8x,0<x<8,
当x=-
b |
2a |
(3)根据题意画出图形,如图所示:
存在符合条件的点Q和R,使以P,R,Q,A为顶点的四边形为平行四边形,
若Q在对称轴右边,把x=5代入直线AB解析式,解得y=3,即Q纵坐标为3,
把y=3代入抛物线解析式得:3=
1 |
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当Q的纵坐标为-3,还有点(5±
3 |
即 Q的坐标为:(5+
15 |
15 |
3 |
3 |
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