已知a、b为正数，若对于任何大于1的正数x，恒有成立，求证：．

Question

已知a、b为正数，若对于任何大于1的正数x，恒有成立，求证：．____

Answer 1

【分析】题目中条件恒成立，先转化为b小于左式的最小值即可，故先求左式ax+的最小值，据此即可证得．

证：∵ax+>b对于大于1的实数x恒成立，即x>1时，[ax+]_min>b，
而ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)²，
当且仅当a(x-1)=，即x=1+>1时取等号．
故[ax+]_min=(+1)²．
则(+1)²>b，即+1>b．

【点评】条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除．从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．