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已知Rt△ABC,中∠ACB=90°,AC=BC,∠AED=90°,AE=DE,将Rt△AED绕A旋转使D、E、B三点共线,F为BD中点如图①求证BE-DE=2CF(2)其他条件不变,继续旋转Rt△AED至②
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已知Rt△ABC,中∠ACB=90°,AC=BC,∠AED=90°,AE=DE,将Rt△AED绕A旋转使D、E、B三点共线,F为BD中点如图①求证BE-DE=2CF(2)其他条件不变,继续旋转Rt△AED至②
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⑴BE+DE=2CF;∵∠AEB=∠ACB=90°∴A、E、B、C四点共圆∴∠BAC=∠BEC=45°=∠AEC连接CD∴⊿CEA≌⊿CED∴CD=CA=CB又点F为DB的中点∴CF⊥BD∴CF=EF=DF+DE=½﹙2DF+2DE﹚=½﹙BE+DE﹚即BE+DE=2CF
⑵BE-DE=2CF;设AB的中点为O﹐连接OC、OF﹐∵∠AEB=∠ACB=90°∴A、E、C、B四点在圆O上∴∠BOC=2∠BAC﹐∠BEC=∠BAC=∠DAE(后一等号因为Rt⊿ACB∽Rt⊿AED);∴OF∥AD∴∠BOF=∠BAD∴∠COF=∠BOF-∠BOC=∠BAD-2∠BAC=∠CAE=∠CBE∴O、B、C、F四点共圆∴∠BFC=∠BOC=2∠BAC=2∠BEC∴∠FCE=∠FEC∴FE=FC∴BE-DE=BD-2DE=2DF-2DE=2EF=2CF
⑴BE+DE=2CF;∵∠AEB=∠ACB=90°∴A、E、B、C四点共圆∴∠BAC=∠BEC=45°=∠AEC连接CD∴⊿CEA≌⊿CED∴CD=CA=CB又点F为DB的中点∴CF⊥BD∴CF=EF=DF+DE=½﹙2DF+2DE﹚=½﹙BE+DE﹚即BE+DE=2CF
⑵BE-DE=2CF;设AB的中点为O﹐连接OC、OF﹐∵∠AEB=∠ACB=90°∴A、E、C、B四点在圆O上∴∠BOC=2∠BAC﹐∠BEC=∠BAC=∠DAE(后一等号因为Rt⊿ACB∽Rt⊿AED);∴OF∥AD∴∠BOF=∠BAD∴∠COF=∠BOF-∠BOC=∠BAD-2∠BAC=∠CAE=∠CBE∴O、B、C、F四点共圆∴∠BFC=∠BOC=2∠BAC=2∠BEC∴∠FCE=∠FEC∴FE=FC∴BE-DE=BD-2DE=2DF-2DE=2EF=2CF
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